Карточки, доски
Сборник реальных заданий ЕГЭ №19 последних лет
На доске написано натуральных необязательно различных чисел, каждое из которых не превосходит Одно или несколько из чисел на доске увеличили на Числа, которые после этого оказались равны с доски стёрли.
а) Могло ли среднее арифметическое всех чисел на доске уменьшиться?
б) Могло ли быть так, что сначала среднее арифметическое было равно а потом стало равно ?
в) Чему может быть равно наименьшее среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, если изначально оно было равно ?
а) Могло ли среднее арифметическое всех чисел на доске уменьшиться?
б) Могло ли быть так, что сначала среднее арифметическое было равно а потом стало равно ?
в) Чему может быть равно наименьшее среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, если изначально оно было равно ?
а) Да, среднее арифметическое всех чисел на доске могло уменьшиться.
Например, если исходный набор состоял из двух чисел и восемнадцати чисел то его среднее арифметическое было
Тогда в новом наборе из двух десяток среднее арифметическое равно что меньше
б) Допустим, могло быть так, что сначала среднее арифметическое было равно а потом стало равно
Пусть стёрто чисел (). Пусть ещё () чисел (из тех, что меньше ) были увеличены на Тогда среднее арифметическое нового ряда есть
При наблюдаем, что значит равенство не выполняется.
Например, если исходный набор состоял из двух чисел и восемнадцати чисел то его среднее арифметическое было
46.
Пусть увеличили на все числа кромеТогда в новом наборе из двух десяток среднее арифметическое равно что меньше
б) Допустим, могло быть так, что сначала среднее арифметическое было равно а потом стало равно
Пусть стёрто чисел (). Пусть ещё () чисел (из тех, что меньше ) были увеличены на Тогда среднее арифметическое нового ряда есть
откуда
При наблюдаем, что значит равенство не выполняется.
При наблюдаем, что значит равенство не выполняется.
Нет, не могло быть так, что сначала среднее арифметическое было равно а потом стало равно
в) Пусть всё также стёрто чисел. Пусть ещё чисел (из тех, что меньше ) были увеличены на
Заметим, откуда
Среднее арифметическое нового ряда чисел есть
Заметим, откуда
Среднее арифметическое нового ряда чисел есть
Учтём, что
Наконец, учтём то, что
Приведён пример:
Ответ: а) да; б) нет; в)
На доске написано различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырёх или семи чисел является целым числом.
а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа и ?
б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число
в) Найдите минимальное при котором на доске одновременно записаны числа и .
а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа и ?
б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число
в) Найдите минимальное при котором на доске одновременно записаны числа и .
Докажем, что все числа на доске должны давать одинаковые остатки при делении на
Пусть — любые два числа, дающие разные остатки при делении на то есть
Пусть — также числа на доске.
Согласно условию
Но тогда разность сумм также должна быть кратна так как
Но
не кратна так как
Противоречие.
Аналогично показывается, что все числа ряда дают одинаковые остатки при делении на
а)
Видим, что числа дают разные остатки при делении на
А значит на доске одновременно быть записаны числа и не могут.
б) Как мы выяснили, любое число на доске должно давать остаток при делении его на раз на доске есть число
Пусть есть на доске.
Рассмотрим остатки при делении на при всех случаях:
- — остаток
- — остаток
- — остаток
- — остаток
Одно из написанных на доске чисел не может быть квадратом натурального числа, если на доске есть число
Раз на доске одновременно записаны числа и а число даёт остаток при делении на и при делении на (а значит и на ),
то и число должно давать остаток при делении наЗаметим, должно быть кратно Значит, кратно
Видим, что не подходит чётное Начнём перебирать нечётные
не кратно | |
не кратно | |
не кратно | |
не кратно | |
не кратно | |
кратно ! |
Ответ: а) нет; б) нет; в)
На доске записано последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на меньше, чем чисел, делящихся на
а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на ?
б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на ?
в) Найдите наибольшее возможное значение
а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на ?
б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на ?
в) Найдите наибольшее возможное значение
а) Да, могло. Например, в ряду
то чисел, кратных должно быть как минимум
Первым в ряду должно встретиться число, кратное а не
Пусть
Увидим в ряду:
встретятся три числа, кратные :
и четыре числа, кратные :
б) Если среди записанных чисел должно быть ровно чисел, кратных
то чисел, кратных должно быть как минимум
Первым в ряду должно встретиться число, кратное а не
Пусть
Увидим в ряду:
Тогда необходимо:
Из этого:
Получаем:
— противоречие.
Вывод: нет, не может быть ровно чисел, делящихся на
Пусть чисел, кратных — штук. Тогда чисел, кратных
Ряд должен начинаться и заканчиваться числами, кратными
Максимальной длины он будет, если выглядит так:
Тогда ряд выглядит так:
Тогда
Ряд должен начинаться и заканчиваться числами, кратными
Максимальной длины он будет, если выглядит так:
Требования:
Из этого:
Рассмотрим случай
Тогда ряд выглядит так:
Пусть
Тогда
Итак, в ряду чисел.
Ответ: а) да; б) нет; в)а) Приведите пример семизначного числа, из которого, вычёркивая цифры, можно получить каждое из чисел:
б) Существует ли восьмизначное число, из которого, вычёркивая цифры, можно получить каждое из чисел:
в) Найдите наименьшее натуральное число, из которого можно получить все натуральные числа от до включительно, вычёркивая цифры.
б) Существует ли восьмизначное число, из которого, вычёркивая цифры, можно получить каждое из чисел:
в) Найдите наименьшее натуральное число, из которого можно получить все натуральные числа от до включительно, вычёркивая цифры.
а) Например,
б) Нет, не существует.С одной стороны, должна быть левее (на что указывает ), левее (на что указывает ) и левее (на что указывает ):
С другой стороны, должна быть правее ():
Противоречие. не может быть одновременно левее и правее
Мы должны использовать все десять цифр. Наше число должно быть как минимум четырнадцатизначным, так как цифры помимо цифр должны присутствовать дважды для возможности составлять числа
Первую цифру слева ставим по понятным причинам ( не может стоять на первой позиции).
Рассуждая аналогичным образом, приходим к тому, что первые восемь цифр таковы:
На десятую позицию ставим
На одиннадцатую позицию ставим (меньшая из оставшихся цифр).
На двенадцатую позицию ставим (меньшая из оставшихся цифр).
На тринадцатую позицию ставим (меньшая из оставшихся цифр).
На четырнадцатую позицию ставим (последняя оставшаяся цифра).
Наше число получилось таким: Из него можно составить все натуральные числа от до включительно и меньшее числа нам не найти.
Ответ: а) например, б) нет; в) .
Первую цифру слева ставим по понятным причинам ( не может стоять на первой позиции).
- Может ли быть на второй позиции слева ? Нет. Иначе как мы составим числа
- Может ли быть на второй позиции слева ? Нет. Иначе как мы составим числа
Ставим на вторую позицию тогда цифру
- Может ли быть на третьей позиции слева ? Нет. Иначе как мы составим числа
- Может ли быть на третьей позиции слева ? Нет. Иначе как мы составим числа
- Может ли быть на третьей позиции слева ? Нет. Иначе как мы составим числа
- Может ли быть на четвёртой позиции слева ? Нет. Иначе как мы составим числа
- Может ли быть на четвёртой позиции слева ? Нет. Иначе как мы составим числа
- Может ли быть на четвёртой позиции слева ? Нет. Иначе как мы составим числа
- Может ли быть на четвёртой позиции слева ? Нет. Иначе как мы составим числа
- Может ли быть на пятой позиции слева ? Нет. Иначе как мы составим число
Рассуждая аналогичным образом, приходим к тому, что первые восемь цифр таковы:
- Может ли быть на девятой позиции слева ? Нет. Иначе как мы составим число
На десятую позицию ставим
На одиннадцатую позицию ставим (меньшая из оставшихся цифр).
На двенадцатую позицию ставим (меньшая из оставшихся цифр).
На тринадцатую позицию ставим (меньшая из оставшихся цифр).
На четырнадцатую позицию ставим (последняя оставшаяся цифра).
Наше число получилось таким: Из него можно составить все натуральные числа от до включительно и меньшее числа нам не найти.
Ответ: а) например, б) нет; в) .
На доске написано различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел является целым числом. Одно из записанных чисел равно
а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число ?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел быть равным ?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом Найдите наименьшее возможное значение
а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число ?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел быть равным ?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом Найдите наименьшее возможное значение
окажем, что все числа на доске должны давать одинаковые остатки при делении на
Пусть — любые два числа, дающие разные остатки при делении на то есть
Согласно условию:
Но не кратна так как Противоречие.
А значит на доске не может быть числа
б) Из рассуждений выше мы понимаем, что все числа на доске дают остаток при делении на
Пусть есть такие что
Тогда
Пусть — любые два числа, дающие разные остатки при делении на то есть
Пусть — также числа на доске.
Согласно условию:
Но тогда разность сумм также должна быть кратна так как
Но не кратна так как Противоречие.
Аналогично показывается, что все числа ряда дают одинаковые остатки при делении на и
а)Видим, что числа и дают разные остатки при делении на
А значит на доске не может быть числа
б) Из рассуждений выше мы понимаем, что все числа на доске дают остаток при делении на
Пусть есть такие что
Тогда
— противоречие.
Нет, отношение двух записанных на доске чисел быть равным не может.в) Пусть
Тогда
Тогда
Например,
Подберём пример:
Тогда
Видим, что должно быть кратно Наименьшее подходящее значение — это
Тогда
Например,
Подберём пример:
Ответ: а) нет; б) нет; в)
Даны числа и Из них можно сделать числа и или и только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что
а) Можно ли за ходов создать пару, где одно из чисел равно
б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали
а) Можно ли за ходов создать пару, где одно из чисел равно
б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали
а) За один ход сумма чисел увеличивается на
Действительно,или
Исходная сумма чисел и равна За ходов мы можем добраться до суммы Очевидно, мы не можем представить в виде суммы двух натуральных слагаемых, одно из которыхб) Так как то можно организовать хода, что приведут пару к паре с суммой
Применим к паре чисел указанный ниже цикл раз:
Придем к паре сумма которой
Если оба числа не превышают то максимальное количество ходов мы сделаем при максимальной сумме чисел, которая равна
Покажем, что вариант невозможен.
Заметим, изначально разность чисел равнялась Каждый ход меняет разность пары на Действительно,
Тогда максимальная сумма указанных чисел уже не а
Сможем сделать ходов? Да!
Первый ход:
раз. Получим пару
Ответ: а) нет; б) в)
Покажем, что вариант невозможен.
Заметим, изначально разность чисел равнялась Каждый ход меняет разность пары на Действительно,
или
То есть новая пара чисел не сможет в разности дать нулевой остаток при делении на то естьТогда максимальная сумма указанных чисел уже не а
Сможем сделать ходов? Да!
Первый ход:
Далее включаем указанный в пункте б) цикл
раз. Получим пару
Ответ: а) нет; б) в)
На доске написано трёхзначное число Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число затем Коля записывает число и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число
а) Может ли быть верным уравнение если
б) Может ли быть верным уравнение если
в) Найдите наибольшее число до для которого выполняется
а) Может ли быть верным уравнение если
б) Может ли быть верным уравнение если
в) Найдите наибольшее число до для которого выполняется
a) Да, например, При этом
б) Из условия видно, что первая цифра числа всегда
Кроме того, вторая цифра числа не меньше
Значит, какую бы цифру мальчики ни вычёркивали, останется всегда двузначное число, не меньше Но тогда что больше
Нет, указанное невозможно.
б) Из условия видно, что первая цифра числа всегда
Кроме того, вторая цифра числа не меньше
Значит, какую бы цифру мальчики ни вычёркивали, останется всегда двузначное число, не меньше Но тогда что больше
Нет, указанное невозможно.
в) Пусть Для удобства всевозможные варианты произведения оформим в виде таблицы.
Жёлтые ячейки 1‑4 таблицы нам неинтересны. Первые слагаемые в них не меньше — первого слагаемого в разложении числа на разряды, то есть (равенство возможно в случае но нам этот случай вряд ли важен, когда мы ищем наибольшее число
Рассмотрим голубые ячейки 5 и 6.
Тогда откуда а если мы преследуем максимальное до
Итак,
Рассмотрим бежевые ячейки 7‑8.
Тогда
Итак, наибольшее число до для которого выполняется — это
Жёлтые ячейки 1‑4 таблицы нам неинтересны. Первые слагаемые в них не меньше — первого слагаемого в разложении числа на разряды, то есть (равенство возможно в случае но нам этот случай вряд ли важен, когда мы ищем наибольшее число
Рассмотрим голубые ячейки 5 и 6.
Так как единственная возможность, чтобы левая часть была бы не отрицательной (ведь правая часть равенства не отрицательна) — это
Тогда откуда а если мы преследуем максимальное до
Итак,
или
Рассмотрим зелёную ячейку 9.Чтобы оставаться в пределах до по мы можем позволить лишь себе или но в этом случае меньше уже найденного
Рассмотрим бежевые ячейки 7‑8.
Необходимо (замечаем по первым слагаемым частей)
Тогда
а левая часть равна — нет решений.
Мы перебрали все возможные варианты.Итак, наибольшее число до для которого выполняется — это
Ответ: a) да; б) нет; в)
Есть синие и красные карточки. Всего карточек штук. На каждой написаны натуральные числа, среднее арифметическое которых равно Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в раза, после чего среднее арифметическое стало равно
а) Может ли быть синих карточек?
б) Может ли быть красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
а) Может ли быть синих карточек?
б) Может ли быть красных карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?
Пусть есть синих карточек. Тогда красных – штук.
Согласно условию сумма чисел с карточек равна
Упорядочим числа с синих карточек:
Упорядочим числа с красных карточек: Согласно условию
После увеличения чисел на синих карточках имеем:
a) Проверим, может ли быть синих карточек.
имеем
и
Откуда, вычитая из получаем:
и
Пусть и числа с синих карточек, например, такие:
Может быть синих карточек.
б) Проверим, может ли быть красных карточек.
имеем
и
Поскольку любое число на синей карточке больше, чем любое на красной, то самое маленькое возможное значение числа с синей карточки – это Даже если далее все числа с синих карточек отличаются, будучи упорядоченными, друг от друга на то их сумма оказывается как минимум то есть что противоречит условию.
Не может быть красных карточек.
в) Выясним, какое наибольшее количество синих карточек может быть, то есть найдем наибольшее значение при данных условиях.
Имеем
Откуда
Даже если то приходим к противоречию с тем, что
Пусть
Находится подходящий вариант:
Имеем
и
Откуда
Заметим, как уже нами было показано, синих карточек, как минимум, может быть Если их больше десяти, то
Откуда
Откуда
далее
Пусть Учитывая, что имеем:
Даже если то приходим к противоречию с тем, что
Пусть
Находится подходящий вариант:
и
Ответ: а) да; б) нет; в)
На доске написано чисел Каждое из них не меньше и не больше Каждое из этих чисел уменьшают на При этом либо либо число уменьшается на то есть становится равным (Какие-то числа уменьшились на число а какие-то — на процента).
а) Может ли среднее арифметическое чисел быть равным
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел больше при этом сумма чисел уменьшилась более чем на
в) Пусть всего чисел а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел
а) Может ли среднее арифметическое чисел быть равным
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел больше при этом сумма чисел уменьшилась более чем на
в) Пусть всего чисел а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел
а) или Так как по условию то Значит среднее арифметическое чисел не больше то есть не может быть равным
б) Могло так получиться, что среднее арифметическое чисел больше при этом сумма чисел уменьшилась более чем на
Например,
уменьшаем на (то есть на и заменяем на
уменьшаем на и заменяем на
При этом а сумма чисел уменьшилась на
в) Пусть первых чисел ряда уменьшились на и оставшиеся – на
Ответ: а) нет; б) да; в)
Сумма чисел уменьшилась на
Так как то поскольку от есть то
Тогда, возвращаясь в получаем:
Среднее арифметического чисел равно для набора, в котором все числа – и первые чисел уменьшают на остальные чисел уменьшают на
Ответ: а) нет; б) да; в)
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше и меньше
а) Может ли на доске быть чисел?
б) Может ли на доске быть чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
а) Может ли на доске быть чисел?
б) Может ли на доске быть чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
a) Да, на доске может быть чисел. Например,
б) Нет, на доске не может быть чисел.
Пойдем от противного. Допустим, на доске может быть чисел указанного вида.
Упорядочим числа ряда в порядке возрастания. Пусть
Очевидно, иначе
Также иначе
Итак, что для различных натуральных чисел невозможно.
в) Нас интересует максимально возможная сумма оговоренного выше ряда четырех чисел. Понятно, что каждое из -х слагаемых должно принимать наибольшее значение из всех возможных вариантов.
Как мы уже замечали, предпоследнее число в ряду не может быт больше так как в этом случае произведение двух последних чисел ряда превысит Пусть предпоследнее число в ряду – это Тогда на роль последнего вполне можно взять
Ничто не мешает нам взять на роль первого, второго чисел ряда числа и
Итак, «выгодным» вариантом оказывается среди прочих вариант
Сумма ряда чисел в таком случае равна
Ответ: а) да; б) нет; в)
Как мы уже замечали, предпоследнее число в ряду не может быт больше так как в этом случае произведение двух последних чисел ряда превысит Пусть предпоследнее число в ряду – это Тогда на роль последнего вполне можно взять
Ничто не мешает нам взять на роль первого, второго чисел ряда числа и
Итак, «выгодным» вариантом оказывается среди прочих вариант
Сумма ряда чисел в таком случае равна
Ответ: а) да; б) нет; в)
На доске записаны чисел: пять единиц, пять двоек, пять троек и пять четверок. Эти числа разбивают на две группы (в каждой группе не менее одного числа). Пусть среднее арифметическое чисел в первой группе равно а среднее арифметическое чисел во второй группе равно
а) Может ли среднее арифметическое всех чисел оказаться равным
б) Может ли среднее арифметическое всех чисел оказаться меньше, чем
в) Найдите наименьшее возможное значение выражения
а) Может ли среднее арифметическое всех чисел оказаться равным
б) Может ли среднее арифметическое всех чисел оказаться меньше, чем
в) Найдите наименьшее возможное значение выражения
a) Среднее арифметическое всех записанных чисел равно
Пусть первая группа
вторая
Тогда
То есть среднее арифметическое всех чисел оказалось равным
б) Пусть первая группа
вторая
Тогда
То есть среднее арифметическое всех чисел оказалось меньше, чем
в) Несложно заметить, что если разделить числа на две равные по количеству чисел группы, то Пусть для определенности количество чисел первой группы меньше количества чисел второй группы.
Пусть в первую группу попало чисел, тогда во вторую –
Согласно условию
Очевидно, Тогда
Наименьшее значение принимает в случае, когда в первую группу попадает одна единица, во вторую – все остальные исходные числа.
Ответ: a) да; б) да; в)
Пусть в первую группу попало чисел, тогда во вторую –
Согласно условию
Далее,
Заметим,
Очевидно, Тогда
Далее,
Итак, причем когда
Наименьшее значение принимает в случае, когда в первую группу попадает одна единица, во вторую – все остальные исходные числа.
Ответ: a) да; б) да; в)
На доске записаны два натуральных числа: и За один ход разрешается любое из этих чисел заменить модулем их разности либо уменьшить вдвое (если число чётное).
а) Может ли через несколько ходов на доске оказаться два одинаковых числа?
б) Может ли через несколько ходов на доске оказаться число
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое может оказаться на доске в результате выполнения таких ходов.
а) Может ли через несколько ходов на доске оказаться два одинаковых числа?
б) Может ли через несколько ходов на доске оказаться число
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое может оказаться на доске в результате выполнения таких ходов.
а) Да, через несколько ходов на доске может оказаться два одинаковых числа. Например,
б) Нет.
Действительно,
Разность чисел, кратных кратна
А также, производя последовательное деление на (пока есть возможность) числа, кратного мы получим в итоге не менее
в) Неважно на каком этапе – мы всякий раз будем иметь пару вида где – натуральные числа. Если то на доске может оказаться число но оно не натуральное.
То есть числа меньше, чем на доске мы не увидим. Покажем, что можем увидеть.
Вернемся к нашему ряду:
То есть числа меньше, чем на доске мы не увидим. Покажем, что можем увидеть.
Вернемся к нашему ряду:
Ответ: а) да; б) нет; в)
- раздел в разработке